التعليم

شرح الاعداد المركبة Complex numbers

شرح الاعداد المركبة Complex numbers، شرح تعليمي من الرياضيات، يبحث الكثير من الطلاب عن شرح الاعداد المركبة Complex numbers، حيث يسرنا نحن موقع النبراس بأن نقدم لكم شرح الاعداد المركبة واهمية الاعداد المركبة، وكيفية الحسابات للاعداد المركبة، ويقصد بالاعداد المركبة هي اعداد حقيقية واعداد وهمية(تخيلية)، تفضل عزيزي لقراءة شرح الاعداد المركبة Complex numbers.

تعريف الاعداد المركبة

العدد المركب: هو عدد من الأعداد الصحيحة الموجبة، وعادةً ما يسمى بالعدد العقدي، وتكون كتابته على الصورة الآتية: (a+bi)، حيث (a،b) أعداد حقيقية و(i) عدد وهمي، فبالتالي يكون كل عدد صحيح أكبر من العدد واحد مركب، أما العددين (0 و1) من غير الممكن اعتبارهما من مجموعة الأعداد الحقيقية، إذ أن مجموعة من الأعداد الحقيقية والتخيلية هي التي تعطي نتيجة سالبة عند تربيعها.

خصائص الأعداد المركبة:

شرح الاعداد المركبة Complex numbers،

  • تعتبر كل الأعداد الزوجية الأكبر من العدد(2) أعداداً مركبة.
  • الأعداد المركبة تُكتب وتتحلل إلى عوامل أولية.
  • يُعتبر العدد (4) من أصغر الأعداد المركبة.

أهمية الأعداد المركبة:

شرح الاعداد المركبة Complex numbers،

  • يمكن استخدامها في العديد من العمليات الحسابية الرياضية المهمة: كالجمع والطرح والقسمة والضرب، وإيجاد المعكوس للأعداد المركبة.
  • تتميز الأعداد المركبة بأنه من الممكن كتابتها بأكثر من صيغة، إما عن طريق النظام الثنائي، أو عن طريق الصيغة الأسية.
  • من أهم استخداماتها أنها تدخل في الهندسة الكهربائية، وحساب قيم الجهد الكهربائي وقياس تردد التيار الكهربائي.
  • الأعداد المركبة تتميز بأن لها عدد مرافق، نفس الجزء الحقيقي الخاص بالعدد الأصلي، بعكس الجزء الوهمي الذي يكون للعدد المركب، حيث أنه يعاكس الجزء الوهمي في الإشارة ويساويه بالقيمة.
  • تستخدم في معالجة الإشارات، والاتصالات اللاسلكية.
  • تستخدم في العديد من التطبيقات الذكية التي نستخدمها يوميآ في حياتنا.
  •  تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية، التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

شرح الاعداد المركبة Complex numbers،
هناك العديد من العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها على الأعداد المركبة، وفيما يلي توضيح لكل منها:

• جمع الاعداد المركبة: عند جمع عددين مركبين فإنه يجب جمع العددين التخيلين مع بعضهما أولاً ووضع الناتج، ثم جمع العددين الحقيقين مع بعضهما ووضع الناتج بجانب الناتج الأوّل، والمثال الآتي يوضّح ذلك:

مثال: يمكن جمع العددين المركبين (4+3i) و العدد المركب (2+2i) كما يلي:
(4+2) + (3i+2i)،
ويساوي (6) + (3+2)i،
وهذا يساوي 6 + 5i.

• ضرب الأعداد المركبة: إن عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه إلى حد ما عملية ضرب الاقتران كثير الحدود، كما أنّ نتيجة ضرب العدد التخيلي بعدد تخيلي آخر تُعطي دائماً عدداً حقيقياً، وبالتالي:

يمكن إيجاد حاصل ضرب (أ+ بi) × (جـ+دi)
كما يلي:
أ ×(جـ+دi) + بi×(جـ+دi) =
(أ×جـ) + (أ×د)×i + (ب×جـ)×i + (ب×د)×i² =
(أ×جـ) + ((أ×د) + (ب×جـ)) i + (ب×د)×(-1)

وبالتالي فإن حاصل ضرب (أ+بi) × (جـ+دi)
يساوي (أ×جـ – ب×د) + (أ×د + ب×جـ)×i.

مثال: ما هو حاصل ضرب (3+2i) في (4-2i)؟

الحل: يمكن باستخدام القانون الموجود في الأعلى لحل هذا السؤال بخطوة واحدة كما يلي:
أ=3، ب=2، جـ=4، د=-2.
وبالتالي وبتطبيق القانون
فإنّ حاصل الضرب يساوي: ((3×4) – (2×-2)) + ((3×-2) + (2×4))i
ويساوي 16+2i.

• قسمة الأعداد المركبة: يجب لقسمة الأعداد المركبة الحصول أولاً على العدد المرافق للعدد المركب، والذي يُعرف بأنّه نفس العدد المركب، مع عكس الإشارة في الوسط؛ فمثلاً العدد المرافق للعدد (أ+بi) هو (أ-بi)، وهذا يعني أن الجزء الذي يمثّل العدد الحقيقي يبقى كما هو، أما الجزء الذي يمثّل العدد التخيلي فهو الذي تتغير إشارته، وعادة ما يتم وضع إشارة (ـــــــــــ) فوق العدد المرافق لتمييزه عن العدد المركب.

يمكن باستخدام العدد المرافق للعدد المركب قسمة الأعداد المركبة على بعضها، عن طريق كتابة العددين المركبين المطلوب قسمتهما على بعضهما فوق بعضهما البعض على شكل كسر مكوّن من بسط ومقام، ثم ضرب كل من البسط والمقام بمرافق العدد الموجود في المقام؛ أي المقسوم عليه، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
مثال:
ما هو ناتج قسمة 2+3i على 4-5i؟
الحل:
بضرب البسط، والمقام بالعدد (4+5i)،
وتجميع الحدود ينتج أنّ ناتج عملية القسمة هذه يساوي (-7+22i)/41،
ويمكن كذلك كتابة هذا العدد على صورة:
أ+بi كما يلي:
(-7/41) + (22/41) i.

 

نكون بهذا قد قدمنا لكم شرح الاعداد المركبة Complex numbers، عزيزي الزائر نحن لا نضع الشروحات الا بعد البحث والتأكد من المعلومات الصحيحه والمفيدة التي ستفيدكم ، شرح الاعداد المركبة Complex numbers .
ونتمنى لكم التوفيق والنجاح.

مقالات ذات صلة

زر الذهاب إلى الأعلى